设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：①对正数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1（I）求f（1）和f(19)的值；（II）如果不等式f（x）+f（2--数学试题及答案

1、试题题目：设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：①对..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：
①对正数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＜0；
③f（3）=-1
（I）求f（1）和f(

1

9

)的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，
对正数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，得f（1）=0．
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且f（9）+f（

1

9

）=f（1）=0，
得f（

1

9

）=2．
（II）设0＜x₁＜x₂＜+∞，由条件（1）可得f（x2）-f（x1）=f（

x2

x1

），
因

x2

x1

＞1，由（2）知f（

x2

x1

）＜0，
所以f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）在R₊上是递减的函数．
由条件（1）及（I）的结果得：f[x（2-x）]＜f（

1

9

），
由函数f（x）在R₊上的递减性，得：

x＞0

2-x＞0

x(2-x)＞

1

9

，
由此解得x的范围是（1-

2

3

，1+

2

3

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：①对..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：