已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(π2)=1．给出下列结论：f(π4)=12；②f（x）为奇函数；③f（x）为周期函数；④f（x）在（0，x）内单调递减-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(

π

2

)=1．给出下列结论：f(

π

4

)=

1

2

；②f（x）为奇函数；③f（x）为周期函数；④f（x）在（0，x）内单调递减．其中正确的结论序号是（　　）

A．②③

B．②④

C．①③

D．①④

试题来源：不详试题题型：单选题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

令x=y=

π

4

，根据f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(

π

2

)=1．
∴f(

π

2

)+f(0)=2f(

π

4

) ?

2

∴f(

π

4

)=

2

故①不对
∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy
令x=0，则
f（y）+f（-y）=f（0）cosy=0
f（-y）=-f（y）
所以f（x）是奇函数故②对．
令x=

π

2

，由f（0）=0，f（

π

2

）=1知④不对
故选A．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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