已知函数f(x)=lg(2a1+x-1)（其中a＞0）．求证：（1）用反证法证明函数f（x）不能为偶函数；（2）函数f（x）为奇函数的充要条件是a=1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=lg(2a1+x-1)（其中a＞0）．求证：（1）用反证法..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-20 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=lg(

2a

1+x

-1)（其中a＞0）．求证：
（1）用反证法证明函数f（x）不能为偶函数；
（2）函数f（x）为奇函数的充要条件是a=1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：充分条件与必要条件

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）假设函数f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），
∴lg(

2a

1-x

-1)=lg(

2a

1+x

-1)，即

2a

1-x

-1=

2a

1+x

-1，化简得：

4ax

1-x2

=0，
∴a=0，与条件a＞0矛盾，
∴函数f（x）不能为偶函数．…（7分）
（2）充分性：由a=1，函数f(x)=lg(

2

1+x

-1)=lg

1-x

1+x

，
∵

1-x

1+x

＞0，∴-1＜x＜1，
又f（x）+f（-x）=lg

1-x

1+x

+lg

1+x

1-x

=lg1=0，
∴当a=1时，函数f（x）为奇函数．…（10分）
必要性：由函数f（x）为奇函数，即f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）+f（-x）=lg(

2a-1-x

1+x

)+lg(

2a-1+x

1-x

)=0，化简得（2a-1）²=1，
∵a＞0，∴a=1，
∴当函数f（x）为奇函数时，a=1．…（14分）
（注：必要性的证明也可由定义域的对称性得到a=1）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=lg(2a1+x-1)（其中a＞0）．求证：（1）用反证法..”的主要目的是检查您对于考点“高中充分条件与必要条件”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中充分条件与必要条件”。

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