已知抛物线x2=4y的焦点是椭圆C：x2n2+y2b2=1(a＞b＞0)一个顶点，椭圆C的离心率为32．另有一圆O圆心在坐标原点，半径为a2+b2（I）求椭圆C和圆O的方程；（Ⅱ）已知过点P（0，a2+b2）的直线-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线x2=4y的焦点是椭圆C：x2n2+y2b2=1(a＞b＞0)一个..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-08 07:30:00

试题原文

已知抛物线 x²=4y的焦点是椭圆 C：

x2

n2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)一个顶点，椭圆C的离心率为

3

2

．另有一圆O圆心在坐标原点，半径为

a2+b2

（I）求椭圆C和圆O的方程；
（Ⅱ）已知过点P（0，

a2+b2

）的直线l与椭圆C在第一象限内只有一个公共点，求直线l被圆O截得的弦长；
（Ⅲ）已知M（x₀，y₀）是圆O上任意一点，过M点作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，求证：l₁⊥l₂．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两直线平行、垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由x²=4y可得抛物线焦点坐标为（0，1），∴b=1，
又∵e=

3

2

，∴

c2

a2

=

3

4

，∵a2=b2+c2，∴a²=4，
∴

a2+b2

=

5

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1，圆O的方程为x²+y²=5．
（Ⅱ）∵过点P（0，

5

）的直线l与椭圆C在第一象限内只有一个公共点，
∴直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+

5

，k＜0
由

y=kx+

5

x2

4

+y2=1

，得x2+4(kx+

5

)2=4，
即（1+4k²）x²+8

5

kx+16=0，
则△=(8

5

k)2-64(1+4k2)=0，
∴k²=1，又k＜0，k=-1，
∴直线l方程为y=-x+

5

，
圆心O到直线l方程为y=-x+

5

，
圆心O到直线l的距离d=

5

2

=

10

2

，
∴直线l被圆O截得的弦长为2

5-(

10

2

)2

=

10

．
（Ⅲ）证明：若点M的坐标为（2，1），（2，-1），（-2，-1），（-2，1），
则过这四点分别作满足条件的直线l₁，l₂，
若一条直线斜率为0，则另一条斜率不存在，则l₁⊥l₂
若直线l₁，l₂斜率都存在，则设过M与椭圆只有一个公共点的直线方程为y-y₀=k（x-x₀），
由

y=kx+(y0-kx0)

x2

4

+y2=1

，得x²+4[kx+（y₀-kx₀）]²=4，
即（1+4k²）x²+8k（y₀-kx₀）?x+4（y₀-kx₀）2-4=0，
则△=[8k（y₀-kx₀）]2-4（1+4k²）[4（y₀-kx₀）²-4]=0，
化简得（4-x02）k²+2x₀y₀k+1-y02=0，
∵x02+y02=5，
∴（4-x02）k²+2x₀yk+x02-4=0，
设l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，因为l₁，l₂与椭圆都只有一个公共点，
所以k₁，k₂满足（4-x02）k²+2x₀yk+x02-4=0，
∴k₁?k₂=

x02-4

4-x02

=-1，
∴l₁⊥l₂．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线x2=4y的焦点是椭圆C：x2n2+y2b2=1(a＞b＞0)一个..”的主要目的是检查您对于考点“高中两直线平行、垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两直线平行、垂直的判定与性质”。

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