已知椭圆x2a2+y2b2=1=1（a＞b＞0），点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R．（1）当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆x2a2+y2b2=1=1（a＞b＞0），点P为其上一点，F1、F2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1=1（a＞b＞0），点P为其上一点，F₁、F₂为椭圆的焦点，∠F₁PF₂的外角平分线为l，点F₂关于l的对称点为Q，F₂Q交l于点R．
（1）当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
（2）设点R形成的曲线为C，直线l：y=k（x+

2

a）与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵点F₂关于l的对称点为Q，连接PQ，∴∠F₂PR=∠QPR，|F₂R|=|QR|，|PQ|=|PF₂|
又因为l为∠F₁PF₂外角的平分线，故点F₁、P、Q在同一直线上，设存在R（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），F₁（-c，0），F₂（c，0）．
|F₁Q|=|F₁P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=2a，则（x₁+c）²+y₁²=（2a）²．
又x₁=2x₀-c，y₁=2y₀．
∴（2x₀）²+（2y₀）²=（2a）²，∴x₀²+y₀²=a²．
故R的轨迹方程为：x²+y²=a²（y≠0）
（2）∵S_△AOB=

1

2

|OA|?|OB|?sinAOB=

a2

2

sinAOB
当∠AOB=90°时，S_△AOB最大值为

1

2

a²．
此时弦心距|OC|=

2

ak

1+k2

．
在Rt△AOC中，∠AOC=45°，

OC

OA

=

2

ak

a

1+k2

=cos450=

2

，∴k=±

3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆x2a2+y2b2=1=1（a＞b＞0），点P为其上一点，F1、F2..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与圆的位置关系”。

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