过抛物线y2=4x的焦点作一条倾斜角为α，长度不超过8的弦，弦所在的直线与圆x2+y2=34有公共点，则α的取值范围是_____

1、试题题目：过抛物线y2=4x的焦点作一条倾斜角为α，长度不超过8的弦，弦所在的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

过抛物线y²=4x的焦点作一条倾斜角为 α，长度不超过8的弦，弦所在的直线与圆x2+y2=

3

4

有公共点，则 α的取值范围是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），当α=90°时，|AB|=2p=4＜8，故不满足条件，
故α≠90°．
设弦所在的直线方程为 y=k（x-1），即 kx-y-k=0，代入抛物线y²=4x可得 k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=2+

4

k2

．
由于弦长度不超过8，且由抛物线的定义可得|AB|=2+x₁+x₂，∴2+

4

k2

≤6，k²≥1，
故有 k≤-1，或 k≥1 ①．
再由弦所在的直线与圆x2+y2=

3

4

有公共点，可得圆心（0，0）到弦所在的直线 kx-y-k=0的距离小于或等半径，
即

|0-0-k|

k2+1

≤

3

2

．
解得-

3

≤k≤

3

，且 k≠0 ②．
由①②可得 1≤k≤

3

，或-

3

≤k≤-1，即 1≤tanα≤

3

或-

3

≤tanα≤-1．
再由 0≤α＜π可得，α的范围是[

π

4

，

π

3

]∪[

2π

3

，

3π

4

]，
故答案为[

π

4

，

π

3

]∪[

2π

3

，

3π

4

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“过抛物线y2=4x的焦点作一条倾斜角为α，长度不超过8的弦，弦所在的..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与圆的位置关系”。

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