已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），则称以原点为圆心，r=a2-b2的圆为椭圆C的“知己圆”．（Ⅰ）若椭圆过点（0，1），离心率e=63；求椭圆C方程及其“知己圆”的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，若-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），则称以原点为圆心，r=a2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则称以原点为圆心，r=

a2-b2

的圆为椭圆C的“知己圆”．
（Ⅰ）若椭圆过点（0，1），离心率e=

6

3

；求椭圆C方程及其“知己圆”的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，若过点（0，m）且斜率为1的直线截其“知己圆”的弦长为2，求m的值；
（Ⅲ）讨论椭圆C及其“知己圆”的位置关系．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵椭圆C过点（0，1），∴

02

a2

+

12

b2

=1，可得b=1，
又∵椭圆C的离心率e=

6

3

，即

c

a

=

6

3

，且a²-c²=b²=1 …（2分）
解之得a²=3，c²=2
∴所求椭圆C的方程为：

x2

3

+y2=1 …（4分）
由此可得“知己圆”的半径r=

a2-b2

=

2

∴椭圆C的“知己圆”的方程为：x²+y²=2 …（6分）
（Ⅱ）设过点（0，m）、且斜率为1的直线方程为y=x+m，即为x-y+m=0
∵直线截其“知己圆”的弦长l=2，
∴圆心到直线的距离为d=

r2-(

1

2

l)2

=

2-1

=1 …（8分）
由点到直线的距离公式，得d=

|0-0+m|

2

=1，解之得m=±

2

…（10分）

（Ⅲ）∵椭圆C的“知己圆”是以原点为圆心，r=

a2-b2

的圆
∴椭圆C的“知己圆”方程为x²+y²=c²
因此，①当c＜b时，即椭圆C的离心率e∈（0，

2

）时，椭圆C的“知己圆”与椭圆C没有公共点，由此可得“知己圆”在椭圆C内；…（12分）
当c=b时，即椭圆的离心率e=

2

时，椭圆C的“知己圆”与椭圆C有两个
公共点，由此可得“知己圆”与椭圆C相切于点（0，1）和（0，-1）；
当c＞b时，即椭圆C的离心率e∈（0，

2

）时，椭圆C的“知己圆”与椭圆C有四个公共点，由此可得“知己圆”与椭圆C是相交的位置关系． …（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），则称以原点为圆心，r=a2..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与圆的位置关系”。

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