已知数列{an}满足a□1-12+a2-122+…+an-12n=n2+n(n∈N*)．（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列{an}的前n项和Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a□1-12+a2-122+…+an-12n=n2+n(n∈N*)．（I）求数列{..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足

a□1-1

2

+

a2-1

22

+…+

an-1

2n

=n2+n(n∈N*)．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n}的前n项和S_n．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵

a1-1

2

+

a2-1

22

+…+

an-1

2n

=n2+n，(n∈N+)①
∴

a1-1

2

+

a2-1

22

+…+

an-1-1

2n-1

=（n-1）²+n-1=n²-n（n≥2，n∈N⁺），②
由①-②得：

an-1

2n

=2n，∴a_n=n?2ⁿ⁺¹+1，n≥2，n∈N⁺，③
在①中，令n=1，得a₁=5，适合③式，∴a_n=n?2ⁿ⁺¹+1，n∈N⁺．
（II）设b_n=n?2ⁿ⁺¹，其前n项和为T_n，则：
T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，①
2T_n=1×2³+2×2⁴+…+n×2ⁿ⁺²，②
②-①，得T_n=-2²-2³-…-2ⁿ⁺¹+n?2ⁿ⁺²
=（n-1）?2ⁿ⁺²+4．
∴S_n=T_n+n=（n-1）?2ⁿ⁺²+n+4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a□1-12+a2-122+…+an-12n=n2+n(n∈N*)．（I）求数列{..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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