已知各项均为正数的数列{an}，满足：a1=3，且2an+1-an2an-an+1=anan+1，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn=a12+a22+…+an2，Tn=1a21+1a22+…+a1a2n，求Sn+Tn，并确定最小正-数学试题及答案

1、试题题目：已知各项均为正数的数列{an}，满足：a1=3，且2an+1-an2an-an+1=an..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知各项均为正数的数列{a_n}，满足：a₁=3，且

2an+1-an

2an-an+1

=anan+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，Tn=

1

a

21

+

1

a

22

+…+a

1

a

2n

，求S_n+T_n，并确定最小正整数n，使S_n+T_n为整数．

试题来源：江西试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）条件可化为an+1-

1

an+1

=2(an-

1

an

)，
因此{an-

1

an

}为一个等比数列，其公比为2，首项为a1-

1

a1

=

8

3

，
所以an-

1

an

=

8

3

×2n-1=

2n+2

3

(n∈N*)1°
因a_n＞0，由1°式解出a_n=

1

3

(2n+1+

22n+2+9

)2°
（2）由1°式有S_n+T_n=(a1-

1

a1

)2+(a2-

1

a2

)2+…+(an-

1

an

)2+2n
=(

23

3

)2+(

24

3

)2+(

25

3

)2++(

2n+2

3

)2+2n
=

64

27

(4n-1)+2n(n∈N*)
为使S_n+T_n=

64

27

(4n-1)+2n(n∈N*)为整数，
当且仅当

4n-1

27

为整数．
当n=1，2时，显然S_n+T_n不为整数，
当n³3时，4ⁿ-1=（1+3）ⁿ-1=C_n¹×3+C_n²×3²+3³（C_n³++3^n-3C_nⁿ）
∴只需

3

C

1n

+32

C

2n

27

=

n

9

?

3n-1

2

为整数，
因为3n-1与3互质，
所以为9的整数倍．
当n=9时，

n

9

?

3n-1

2

=13为整数，
故n的最小值为9．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知各项均为正数的数列{an}，满足：a1=3，且2an+1-an2an-an+1=an..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：