已知数列{an}的通项公式为an=n+12，n=2k-1(k∈N*)2n2，n=2k(k∈N*)，设bn=a2n-1a2n，Sn=b1+b2+…+bn．（1）求Sn；（2）证明：当n≥6时，|Sn-2|＜1n．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的通项公式为an=n+12，n=2k-1(k∈N*)2n2，n=2k(k∈N*)..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=

n+1

2

，n=2k-1(k∈N*)

2

n

2

，n=2k(k∈N*)

，设b_n=

a2n-1

a2n

，S_n=b₁+b₂+…+b_n．
（1）求S_n；
（2）证明：当n≥6时，|S_n-2|＜

1

n

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知得，a2n-1=

2n-1+1

2

=n，a2n=2

2n

2

=2n，故bn=

a2n-1

a2n

=

n

2n

，…（2分）
S_n=b₁+b₂+…+b_n=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n?(

1

2

)n…（3分）

1

2

S_n=1×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4+…+n?(

1

2

)n+1…（4分）
两式相减得，

1

2

S_n=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4+…+(

1

2

)n-n?(

1

2

)n+1=1-(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1…（5分）
化简得S_n=2-(n+2)(

1

2

)n．…（7分）
（2）由（1）|S_n-2|=(n+2)(

1

2

)n，
因而|S_n-2|＜

1

n

?(n+2)(

1

2

)n＜

1

n

?n（n+2）＜2ⁿ问题转化为证明：当n≥6时，n（n+2）＜2ⁿ，…（9分）
采用数学归纳法．
①当n=6时，n（n+2）=6×8=48，2ⁿ=2⁶=64，48＜64，
此时不等式成立，…（10分）
②假设n=k（k≥6）时不等式成立，即k（k+2）＜2^k，…（11分）
那么当n=k+1时，2^k+1=2×2^k＞2k（k+2）=2k²+4k=k²+4k+k²＞k²+4k+3=（k+1）（k+3）=（k+1）（k+1）+2
这说明，当n=k+1时不等式也成立…（13分）
综上可知，当n≥6时，n（n+2）＜2ⁿ，成立，原命题得证．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的通项公式为an=n+12，n=2k-1(k∈N*)2n2，n=2k(k∈N*)..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：