在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2=an(Sn-12)．（1）求Sn的表达式；（2）设bn=2nSn，求{bn}的前n项和Tn．-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2=an(Sn-12)．（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S_n²=a_n(Sn-

1

2

)．
（1）求S_n的表达式；
（2）设b_n=

2n

Sn

，求{b_n}的前n项和T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解　（1）∵S_n²=a_n(Sn-

1

2

)，a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
∴S_n²=（S_n-S_n-1）(Sn-

1

2

)，
即2S_n-1S_n=S_n-1-S_n，…①
由题意S_n-1?S_n≠0，
将①式两边同除以S_n-1?S_n，得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴数列{

1

Sn

}是首项为

1

S1

=

1

a1

=1，公差为2的等差数列．
可得

1

Sn

=1+2（n-1）=2n-1，得S_n=

1

2n-1

；
（2）由（1）得

1

Sn

=2n-1，
∴bn=

2n

Sn

=(2n-1)?2n
因此，

Tn=1×2+3×22+5×23+…(2n-1)2n

两边都乘以2，得

2Tn= 1×22+3×23+…(2n-3)2n+(2n-1)2n+1

两式相减，得

-Tn=2+2(22+23+…+2n)-

（2n-1）?2ⁿ⁺¹=2+8（2^n-1-1）-（2n-1）?2ⁿ⁺¹
∴T_n=（2n-1）?2ⁿ⁺¹+6-2?2ⁿ⁺¹
化简得

Tn=(2n-3)?2n+1+6

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2=an(Sn-12)．（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：