已知数列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1-1=an2（n∈N?）．记Sn=a1+a2+…+an．Tn=11+a1+1(1+a1)(1+a2)+…+1(1+a1)(1+a2)…(1+an)．求证：当n∈N?时，（Ⅰ）an＜an+1；（Ⅱ）Sn＞n-2．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1-1=an2（n∈N?）．记Sn=a1+a2+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}，a_n≥0，a₁=0，a_n+1²+a_n+1-1=a_n²（n∈N^?）．记S_n=a₁+a₂+…+a_n．Tn=

1

1+a1

+

1

(1+a1)(1+a2)

+…+

1

(1+a1)(1+a2)…(1+an)

．
求证：当n∈N^?时，
（Ⅰ）a_n＜a_n+1；
（Ⅱ）S_n＞n-2．

试题来源：浙江试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当n=1时，因为a₂是方程x²+x-1=0的正根，所以a₁＜a₂．
②假设当n=k（k∈N^*）时，a_k＜a_k+1，
因为a_k+1²-a_k²=（a_k+2²+a_k+2-1）-（a_k+1²+a_k+1-1）=（a_k+2-a_k+1）（a_k+2+a_k+1+1），
所以a_k+1＜a_k+2．
即当n=k+1时，a_n＜a_n+1也成立．
根据①和②，可知a_n＜a_n+1对任何n∈N^*都成立．

（Ⅱ）证明：由a_k+1²+a_k+1-1=a_k²，k=1，2，…，n-1（n≥2），
得a_n²+（a₂+a₃+…+a_n）-（n-1）=a₁²．
因为a₁=0，所以S_n=n-1-a_n²．
由a_n＜a_n+1及a_n+1=1+a_n²-2a_n+1²＜1得a_n＜1，
所以S_n＞n-2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1-1=an2（n∈N?）．记Sn=a1+a2+..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：