已知数列{an}满足：a1=3，且an+1=2an-1（n∈N*）．（1）求证数列{an-1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式an．（2）令bn=1an+1-an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足：a1=3，且an+1=2an-1（n∈N*）．（1）求证数列{an-1}是..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足：a₁=3，且a_n+1=2a_n-1（n∈N^*）．
（1）求证数列{a_n-1}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）令bn=

1

an+1-an

(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和S_n．

试题来源：资中县模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a_n+1=2a_n-1，两边同时减去1，得
a_n+1-1=2（a_n-1），又a₁-1=2
∴{a_n-1}是以a₁-1=2为首项，q=2为公比的等比数列，
∴a_n-1=2ⁿ∴a_n=2ⁿ+1（n∈N^*）（2）证明：∵a_n=2ⁿ+1（n∈N^*），
∴bn=

1

an+1-an

=

1

2n+1-2n

=

1

2n

(n∈N*)
∴Sn=b1+b2+…+bn=

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1

2

(1-

1

2n

)

1-

1

2

=1-

1

2n

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足：a1=3，且an+1=2an-1（n∈N*）．（1）求证数列{an-1}是..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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