已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+Sn-1=ka2n+2（n≥2，n∈N*，k＞0），a1=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{1anan+1}的前n项和为Tn，是否存在常数k，使得Tn＜2对所有-数学试题及答案

1、试题题目：已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+Sn-1=ka2n+2（n≥2，n∈N..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+S_n-1=k

a

2n

+2（n≥2，n∈N*，k＞0），a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，是否存在常数k，使得T_n＜2对所有的n∈N*都成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵S_n+S_n-1=k

a

2n

+2，∴S_n+1+S_n=k

a

2n+1

+2
两式相减可得（a_n+1+a_n）[(an+1-an)-

1

k

]=0
∵正项数列{a_n}，
∴an+1-an=

1

k

（n≥2）
∵S₂+S₁=k

a

22

+2，a₁=1
∴a2=

1

k

∴a_n=

1，n=1

n-1

k

，n≥2

；
（2）由题意，T₁=k，
当n≥2时，Tn=k+

k2

1×2

+…+

k2

(n-1)n

=k+k2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

)=k+k2(1-

1

n

)
∵T_n=k+k2(1-

1

n

)＜k+k²
∴使得T_n＜2对所有的n∈N^*都成立，只需要k+k²≤2（k＞0），
∴0＜k≤1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+Sn-1=ka2n+2（n≥2，n∈N..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：