已知数列{an}各项均为正数，前n项和Sn满足Sn=12a2n+12an-3，（n∈N*），数列{bn}满足：点列An（n，bn）在直线2x-y+1=0（Ⅰ）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）记Tn为数列{cn}的前n-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}各项均为正数，前n项和Sn满足Sn=12a2n+12an-3，（n∈N..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}各项均为正数，前n项和S_n满足Sn=

1

2

a

2n

+

1

2

an-3，（n∈N*），数列{b_n}满足：点列A_n（n，b_n）在直线2x-y+1=0
（Ⅰ）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n为数列{c_n}的前n项和，且cn=bn?2an-2，求T_n；
（Ⅲ）若对任意的n∈N^*不等式

an+1

(1+

1

b1+1

)?(1+

1

b2+1

)…(1+

1

bn+1

)

-

an

n+2+an

≤0恒成立，求正实数a的取值范围．

试题来源：顺义区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知Sn=

1

2

a

2n

+

1

2

an-3，
∴2Sn=

a

2n

+an-6（1）
当n≥2时，2Sn-1=

a

2n-1

+an-1-6（2）
两式相减整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，----（2分）
注意到a_n＞0，∴a_n-a_n-1-1=0，∴a_n=n+2，
又当n=1时，a₁=S₁，解得a₁=3适合，∴a_n=n+2，----（3分）
点A_n（n，b_n）在直线l：y=2x+1上，∴b_n=2n+1．----（4分）
（Ⅱ）∵Cn=bn?2an-2=(2n+1)?2n，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=3?2+5?2²+7?2³+…+（2n+1）?2ⁿ∴2Tn=3?22+5?23+7?24+…+(2n+1)?2n+1，
错位相减得Tn=(2n-1)?2n+1+2．----（8分）
（Ⅲ）∵对任意的n∈N*不等式

an+1

(1+

1

b1+1

)?(1+

1

b2+1

)…(1+

1

bn+1

)

-

an

n+2+an

≤0恒成立，
由a＞0，即a≤

1

2n+4

(1+

1

b1+1

)(1+

1

b2+1

)(1+

1

b3+1

)…(1+

1

bn+1

)，---（9分）
令f（n）=

1

2n+4

(1+

1

b1+1

)(1+

1

b2+1

)(1+

1

b3+1

)…(1+

1

bn+1

)，--（10分）
∴f（n+1）=

1

2n+4

(1+

1

b1+1

)(1+

1

b2+1

)(1+

1

b3+1

)…(1+

1

bn+1

)?(1+

1

bn+1+1

)，
∴f（n+1）＞f（n），f（n）单调递增，----（12分）
f(n)min=f(1)=

5

6

24

．∴0＜a≤

5

6

24

．----（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}各项均为正数，前n项和Sn满足Sn=12a2n+12an-3，（n∈N..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：