已知函数f(x)=lnx-ax，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的单调递增区间；（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为32，求出a的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=lnx-ax，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的单调递..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=lnx-

a

x

，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的单调递增区间；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为

3

2

，求出a的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=1时，f(x)=lnx-

1

x

，其定义域为（0，+∞）
f′(x)=

1

x

+

1

x2

=

x+1

x2

令f'（x）＞0，得x＞-1，又x∈（0，+∞），
所以f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
（2）f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，x∈（0，+∞）
①当a≥-1时，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[1，e]上单调递增，f（x）_min=f（1）=-a，
由-a=

3

2

，得a=-

3

2

（舍去）；
②当a≤-e时，f'（x）≤0恒成立，f（x）在[1，e]上单调递减，f(x)min=f(e)=1-

a

e

，
由1-

a

e

=

3

2

，得a=-

e

2

（舍去）；
③当-e＜a＜-1时，令f'（x）=0，得x₀=-a．
当1＜x＜-a时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上为减函数；
当-a＜x＜e时，f'（x）＞0
∴f（x）在（-a，e）上为增函数．
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1，
由ln(-a)+1=

3

2

，得a=-

e

．
综上所述，a=-

e

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=lnx-ax，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的单调递..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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