已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R，a＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在[1，2]上的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R，a＞0）．（1）求函数f（x）的单调..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ln x-ax （a∈R，a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[1，2]上的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

（2分）
因为a＞0，令f′（x）=

1

x

-a=0，可得x=

1

a

；
当0＜x＜

1

a

时，f′（x）=

1-ax

x

＞0；当x＞

1

a

时，f′（x）=

1-ax

x

＜0，
故函数f（x）的单调递增区间为（0，

1

a

），单调递减区间为（

1

a

，+∞）．（4分）
（2）①当0＜

1

a

≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a．（6分）
②当

1

a

≥2，即0＜a≤

1

2

时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．（8分）
③当1＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜1时，函数f（x）在（1，

1

a

）上是增函数，在（

1

a

，2）上是减函数．
又∵f（2）-f（1）=ln2-a，
∴当

1

2

＜a＜ln 2时，f（x）的最小值是f（1）=-a；
当ln2≤a＜1时，f（x）的最小值为f（2）=ln2-2a．（10分）
综上可知，当0＜a＜ln 2时，函数f（x）的最小值是f（x）_min=-a；
当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）_min=ln2-2a．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R，a＞0）．（1）求函数f（x）的单调..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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