已知函数f（x）=lnx+（x-a）2，a∈R．（1）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（2）若函数f（x）在[12，2]上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx+（x-a）2，a∈R．（1）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx+（x-a）²，a∈R．
（1）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）若函数f（x）在[

1

2

，2]上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）定义域为（0，+∞），
∵f′(x)=

1

x

+2x＞0，…（3分），
∴f（x）在[1，e]上单调递增，…（5分）
∴当x=1时，f（x）_min=f（1）=1…（7分）
（2）f′(x)=

1

x

+2(x-a)=

2x2-2ax+1

x

，…（9分）
由题可知，在区间[

1

2

，2]上存在子区间使不等式2x²-2ax+1＞0成立使成立
又x＞0，∴2a＜2x+

1

x

在[

1

2

，2]上有解…（11分）
令g(x)=2x+

1

x

，则只需2a小于g（x）在[

1

2

，2]上的最大值
由g′(x)=2-

1

x2

＞0知x＞

2

，
∴g（x）在[

2

，2]上单调递增，在[

1

2

，

2

]上单调递减，…（13分）
∴g(x)max=max{g(2)，g(

1

2

)}
又g(2)=

9

2

，g(

1

2

)=3，
故2a＜

9

2

，即a＜

9

4

…（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx+（x-a）2，a∈R．（1）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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