设x1，x2是函数f(x)=a3x3+b2x2-a2x(a＞0)的两个极值点，且|x1-x2|=2．（Ⅰ）证明：0＜a≤1；（Ⅱ）证明：|b|≤439．-数学试题及答案

1、试题题目：设x1，x2是函数f(x)=a3x3+b2x2-a2x(a＞0)的两个极值点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设x₁，x₂是函数f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2-a2x(a＞0)的两个极值点，且|x₁-x₂|=2．
（Ⅰ）证明：0＜a≤1；
（Ⅱ）证明：|b|≤

4

3

9

．

试题来源：东城区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）对f（x）求导可得f'（x）=ax²+bx-a²（a＞0）．（2分）
因为x₁，x₂是f（x）的两个极值点，所以x₁，x₂是方程f'（x）=0的两个实根．
于是x1+x2=-

b

a

，x1x2=-a，
故|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=

b2

a2

+4a=4，
即b²=4a²-4a³．（4分）
由b²≥0得4a²-4a³≥0，解得a≤1．a＞0，
所以0＜a≤1得证．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b²=4a²-4a³，设g（a）=4a²-4a³，
则g'（a）=8a-12a²=4a（2-3a）．（8分）
由g'（a）＞0?0＜a＜

2

3

；g'（a）＜0?

2

3

＜a≤1．（10分）
故g（a）在a=

2

3

时取得最大值

16

27

，
即b2≤

16

27

，
所以|b|≤

4

3

9

．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设x1，x2是函数f(x)=a3x3+b2x2-a2x(a＞0)的两个极值点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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