三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC，A1A=3，AB=2，AC=2，A1C1=1，BDDC=12．（Ⅰ）证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）求二面-数学试题及答案

1、试题题目：三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A₁B₁C₁，∠BAC=90°，A₁A⊥平面ABC，A1A=

3

，AB=

2

，AC=2，A₁C₁=1，

BD

DC

=

1

2

．
（Ⅰ）证明：平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求二面角A-CC₁-B的大小．

试题来源：陕西试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（Ⅰ）∵A₁A⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A₁A⊥BC．在Rt△ABC中，AB=

2

，AC=2，∴BC=

6

，
∵BD：DC=1：2，∴BD=

6

3

，又

BD

AB

=

3

=

AB

BC

，
∴△DBA∽△ABC，∴∠ADB=∠BAC=90°，即AD⊥BC．
又A₁A∩AD=A，∴BC⊥平面A₁AD，∵BC?平面BCC₁B₁，∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁．

（Ⅱ）如图，作AE⊥C₁C交C₁C于E点，连接BE，
由已知得AB⊥平面ACC₁A₁．∴AE是BE在面ACC₁A₁内的射影．
由三垂线定理知BE⊥CC₁，∴∠AEB为二面角A-CC₁-B的平面角．
过C₁作C₁F⊥AC交AC于F点，
则CF=AC-AF=1，C1F=A1A=

3

，∴∠C₁CF=60°．
在Rt△AEC中，AE=ACsin60°=2×

3

2

=

3

．
在Rt△BAE中，tanAEB=

AB

AE

=

2

3

=

6

3

．∴∠AEB=arctan

6

3

，
即二面角A-CC₁-B为arctan

6

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

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