如图，矩形ABCD和ABEF中，AF=AD=2AB=2，二面角C-AB-E的大小为60°，G为BC的中点．（1）求证：AG⊥DE；（2）求二面角A-ED-G的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，矩形ABCD和ABEF中，AF=AD=2AB=2，二面角C-AB-E的大小为60°..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

如图，矩形ABCD和ABEF中，AF=AD=2AB=2，二面角C-AB-E的大小为60°，G为BC的中点．
（1）求证：AG⊥DE；
（2）求二面角A-ED-G的余弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：由题意，AB⊥BG，AB⊥BE，所以∠EBC为二面角C-AB-E的平面角，即∠EBG=60°
∵ABCD和ABEF是矩形
∴AB⊥平面BGE
∵AB?平面ABCD，
∴平面EBG⊥平面ABCD
∵BE=2，BG=1
∴由余弦定理可得EG=

3

∴BE²=BG²+EG²
∴EG⊥BC
∵AG?平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD
∴AG⊥EG，
在矩形ABCD中，G为BC中点，∴AG=DG=

2

，AD=2
∴AG²+DG²=AD²
∴AG⊥DG
∵EG∩DG=G
∴AG⊥平面DEG
∵DE?平面DEG
∴AG⊥DE；
（2）以G为坐标原点，GD为x轴，GA为y轴，GE为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，

2

，0），D（

2

，0，0），E（0，0，

3

）
∴

AE

=（0，-

2

，

3

），

AD

=（

2

，-

2

，0）
面EDG的法向量为

n1

=

GA

=（0，

2

，0）
设平面AED的一个法向量为

n2

=（x，y，z），则由

n2

?

AE

=0

n2

?

AD

=0

，可得

-

2

y+

3

z=0

2

x-

2

y=0

∴可取

n2

=（3，3，

6

）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1

?

n2

|

n1

||

n2

|

=

6

4

∴二面角A-ED-G的余弦值为

6

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，矩形ABCD和ABEF中，AF=AD=2AB=2，二面角C-AB-E的大小为60°..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

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