已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），k（A）表示ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（1）已知集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求k（P）和k（Q）；（2）若-数学试题及答案

1、试题题目：已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-18 07:30:00

试题原文

已知集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），k（A）表示a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（1）已知集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求k（P）和k（Q）；
（2）若集合A={2，4，8，…，2ⁿ}，证明：k(A)=

n(n-1)

2

；
（3）求k（A）的最小值．

试题来源：南京模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：集合的含义及表示

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意知K（P）中的值有6，8，10，12和14五个值，∴k（P）=5，
K（Q）中的值有6，10，18，12，20，24，∴k（Q）=6
（2）证明：a_i+a_j（1≤i＜j≤n）共有

C

2n

=

n(n-1)

2

个
所以k(A)≤

n(n-1)

2

下面证明所有a_i+a_j（1≤i＜j≤n）各不相同
任取a_i+a_j和a_k+a_l（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n）
当j=l时，若a_i+a_j=a_k+a_l，则a_i=a_k，矛盾
当j≠l时，若a_i+a_j=a_k+a_l，则a_i+a_j＜2a_j=2^j+1≤a_l＜a_k+a_l
即a_i+a_j≠a_k+a_l
所以所有a_i+a_j（1≤i＜j≤n）各不相同，所以k(A)=

n(n-1)

2

（3）不妨设a₁＜a₂＜＜a_n，
所以a₁+a₂＜a₁+a₃＜＜a₁+a_n＜a₂+a_n＜＜a_n-1+a_n
所以a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中至少有2n-3个不同的数，即k（A）≥2n-3
取A={1，2，3，n}，则a_i+a_j∈{3，4，5，??，2n-1}共2n-3个
所以k（A）的最小值2n-3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2..”的主要目的是检查您对于考点“高中集合的含义及表示”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中集合的含义及表示”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：