已知数列{an}满足：a1=5，且an+1=-2an+5×3n．（1）求证：数列{an-3n}是等比数列，并写出an的表达式；（2）设3nbn=n（3n-an），且|b1|+|b2|+…+|bn|＜m对于n∈N*恒成立，求m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足：a1=5，且an+1=-2an+5×3n．（1）求证：数列{an-3n}是..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足：a₁=5，且an+1=-2an+5×3n．
（1）求证：数列{a_n-3ⁿ}是等比数列，并写出a_n的表达式；
（2）设3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n），且|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m对于n∈N^*恒成立，求m的取值范围．

试题来源：湖北模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵an+1=-2an+5×3n，
∴an+1-3n+1=-2(an-3n)，
∴{a_n-3ⁿ}是以首项为a₁-3=2，公比为-2的等比数列，
∴a_n-3ⁿ=2?（-2）^n-1，
则a_n=3ⁿ+2?（-2）^n-1=3ⁿ-（-2）ⁿ，
（2）由3ⁿb_n=n?（3ⁿ-a_n）=n?[3ⁿ-3ⁿ+（-2）ⁿ]=n?（-2）ⁿ，
得b_n=n?（-

2

3

）ⁿ，
令Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|=

2

3

+2×(

2

3

)2+3×(

2

3

)3+…+n×(

2

3

)n①
∴

2

3

Sn=(

2

3

)2+2 ? (

2

3

)3+…+(n-1)×(

2

3

)n+n×(

2

3

)n+1②
①-②得，

1

3

Sn=

2

3

+ (

2

3

)2+…+(

2

3

)n-n(

2

3

)n+1=2[1-(

2

3

)n]-n ? (

2

3

)n+1
∴Sn=6[1-(

2

3

)n]-3n(

2

3

)n+1＜6
∵|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m对于n∈N^*恒成立，
∴m≥6．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足：a1=5，且an+1=-2an+5×3n．（1）求证：数列{an-3n}是..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：