已知数列{an}中，a1=2，a2=10，对任意n∈N*有an+2=2an+1+3an成立．（I）若{an+1+λan}是等比数列，求λ的值；（II）求数列{an}的通项公式；（III）证明：1a1+1a2+1a3+…+1an＜23对任意n∈N-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=2，a2=10，对任意n∈N*有an+2=2an+1+3an成立．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=10，对任意n∈N^*有a_n+2=2a_n+1+3a_n成立．
（I）若{a_n+1+λa_n}是等比数列，求λ的值；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）证明：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

2

3

对任意n∈N^*成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设a_n+2+λa_n+1=μ（a_n+1+λa_n），则a_n+2=（μ-λ）a_n+1+λμa_n，
令

μ-λ=2

λμ=3

，得

μ=3

λ=1

或者

μ=-1

λ=-3

，即λ=1或λ=-3；
（II）由（I）知 a_n+2+a_n+1=3（a_n+1+a_n），而a₂+a₁=12，
故a_n+1+a_n=（a₂+a₁）?3^n-1=12?3^n-1=4?3ⁿ，①
同理a_n+2-3a_n+1=-（a_n+1-3a_n）有a_n+1-3a_n=（a₂-3a₁）?（-1）^n-1=4?（-1）^n-1，②
①-②得 4a_n=4?3ⁿ-4?（-1）^n-1，即a_n=3ⁿ+（-1）ⁿ．
（III）证明：当n=2k（k∈N^*）时，注意到3^2k+1-3^2k-1=2?3^2k-1＞0，于是

1

an

+

1

an+1

=

1

a2k

+

1

a2k+1

=

1

32k+1

+

1

32k+1-1

=

32k+1+32k

(32k+1)(32k+1-1)

=

32k+1+32k

32k?32k+1+32k+1-32k-1

＜

32k+1+32k

32k?32k+1

=

1

32k

+

1

32k+1

．
显然当n=1时，不等式成立；对于n≥2，
当n为奇数时，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=

1

a1

+(

1

a2

+

1

a3

)+…+(

1

an-1

+

1

an

)=

1

2

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n-1

+

1

3n

=

1

2

+

3

2

×

1

32

(1-

1

3n-1

)=

1

2

+

1

6

(1-

1

3n-1

)＜

1

2

+

1

6

=

2

3

；
当n为偶数时，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

+

1

an+1

=

1

2

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

+

1

3n+1

=

1

2

+

3

2

×

1

32

(1-

1

3n

)=

1

2

+

1

6

(1-

1

3n

)＜

1

2

+

1

6

=

2

3

．
综上对任意n∈N^*有

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

2

3

成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=2，a2=10，对任意n∈N*有an+2=2an+1+3an成立．..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：