定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=2x2+2x的图象上，其中n为正整数．（1）证明：数列{2an+1}是“平方递-数学试题及答案

1、试题题目：定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方递推数列”．已..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

定义：若数列{A_n}满足An+1=An2，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，其中n为正整数．
（1）证明：数列{2a_n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项及T_n关于n的表达式．
（3）记bn=log2an+1Tn，求数列{b_n}的前n项之和S_n，并求使S_n＞2011的n的最小值．

试题来源：石景山区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：由条件得：an+1=2an2+2an，
∴2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2，
∴{2a_n+1}是“平方递推数列”． …（4分）
由lg（2a_n+1+1）=2lg（2a_n+1），
∴

lg(2an+1+1)

lg(2an+1)

=2，
∴{lg（2a_n+1）}为等比数列． …（6分）
（2）∵lg（2a₁+1）=lg5，∴lg(2an+1)=lg5?2n-1，
∴2an+1=52n-1
∴an=

1

2

(52n-1-1)． …（8分）
∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)=

lg5?(1-2n)

1-2

=(2n-1)lg5，
∴Tn=52n-1． …（10分）
（3）bn=

lgTn

lg(2an+1)

=

(2n-1)lg5

2n-1lg5

=

2n-1

=2-(

1

2

)n-1，…（12分）
∴Sn=2n-[1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]=2n-

1-(

1

2

)n

1-

1

2

=2n-2[1-(

1

2

)n]
=2n-2+2(

1

2

)n． …（14分）
由S_n＞2011，得2n-2+2(

1

2

)n＞2011，n+(

1

2

)n＞1006+

1

2

，
当n≤1006时，n+(

1

2

)n＜1006+

1

2

，当n≥1007时，n+(

1

2

)n＞1006+

1

2

，
因此n的最小值为1007． …（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方递推数列”．已..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：