已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点，交抛物线于A，B两点，其中A在第二象限．（1）求证：以线段FA为直径的圆与Y轴相切；（2）若FA=λ1AP，BF=λ2FA，求λ2-λ1-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点，交抛..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点，交抛物线于A，B两点，其中A在第二象限．
（1）求证：以线段FA为直径的圆与Y轴相切；
（2）若

FA

= λ1

AP

，

BF

=λ2

FA

，求λ₂-λ₁的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）由已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（

p

2

，0），
设A（x₁，y₁），则圆心坐标为(

2x1-p

4

，

y1

2

)，
圆心到y轴的距离为

p-2x1

4

．…（2分）
圆的半径为

|FA|

2

=

1

2

(

p

2

-x1)=

p-2x1

4

，…（4分）
∴以线段FA为直径的圆与y轴相切． …（5分）
（2）设P（0，y₀），B（x₂，y₂），由

FA

=λ1

AP

，

BF

=λ2

FA

，得λ₁＞0，λ₂＞0(x1+

p

2

，y1)=λ1(-x1，y0-y1)，…x2=λ22x1…（6分）
(-

p

2

-x2，-y2)=λ2(x1+

p

2

，y1)．（7分）
∴x1+

p

2

=-λ1x1①
-

p

2

-x2=λ2(x1+

p

2

)②
-y₂=λ₂y₁③…（10分）
∵y22=-2px2，y12=-2px1．
将③变形为y22=λ22y12，∴x2=λ22x1．…（11分）
将代入②，整理得x1=-

p

2λ2

…（12分）
代入①得-

1

λ2

+1=

λ1

λ2

．…（13分）
即λ₂-λ₁=1．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点，交抛..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与圆的位置关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：