若a是实常数，函数f（x）对于任何的非零实数x都有f(1x)=af(x)-x-1，且f（1）=1，则函数F（x）=f（x）（x∈D={x|x∈R，x＞0，f（x）≥x}）的取值范围是_____

1、试题题目：若a是实常数，函数f（x）对于任何的非零实数x都有f(1x)=af(x)-x-1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-13 07:30:00

试题原文

若a是实常数，函数f（x）对于任何的非零实数x都有f(

1

x

)=af(x)-x-1，且f（1）=1，则函数F（x）=f（x）（x∈D={x|x∈R，x＞0，f（x）≥x}）的取值范围是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：演绎推理

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵函数f（x）满足f(

1

x

)=af(x)-x-1，（x≠0）
∴以

1

x

代替x，得f(x)=af(

1

x

)-

1

x

-1，
两式联解，得(a2-1)f(x)=ax+

1

x

+a+1
∵f（1）=1，∴令x=1，得a²-1=a+1+a+1，解之得a=3或-1（-1不符合题意，舍去）
因此，f（x）=

3x

8

+

1

8x

+

1

2

，不等式f（x）≥x即

3x

8

+

1

8x

+

1

2

≥x
化简得5x²-4x-1≤0，解之得-

1

5

≤x≤1
∴集合D={x|x∈R，x＞0，f（x）≥x}=（0，1]
而F（x）=f（x），即F（x）=

3x

8

+

1

8x

+

1

2

，x∈（0，1]
∵x＞0，可得

3x

8

+

1

8x

≥2

3x

8

×

1

8x

=

3

4

∴F（x）=

3x

8

+

1

8x

+

1

2

的最小值为

1

2

+

3

4

，当且仅当

3x

8

=

1

8x

=

3

8

，即x=

3

时取最小值
综上所述，F（x）=

3x

8

+

1

8x

+

1

2

，x∈（0，1]的最小值是f（

3

）=

1

2

+

3

4

，没有最大值．
∴函数F（x）=f（x）（x∈D}）的取值范围是[

1

2

+

3

4

，+∞)
故答案为：[

1

2

+

3

4

，+∞)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若a是实常数，函数f（x）对于任何的非零实数x都有f(1x)=af(x)-x-1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中演绎推理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中演绎推理”。

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