已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆

的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

试题来源：期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得b=1，a=

，b=

，
故椭圆方程为

．
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因为M（0，1），F（1，0），
所以k_PQ=1．
于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，
消元可得3x²+4mx+2m²﹣2=0．
由△＞0，得m²＜3，且x₁+x₂=﹣

，x₁x₂=

．
由题意应有

，
所以x₁（x₂﹣1）+y₂（y₁﹣1）=0，
所以2x₁x₂+（x₁+x₂）（m﹣1）+m²﹣m=0．
整理得2×

﹣

（m﹣1）+m²﹣m=0．
解得m=﹣

或m=1．
经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去．
当m=﹣

时，所求直线l存在，且直线l的方程为y=x﹣

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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