已知椭圆C1：x24+y2=1和动圆C2：x2+y2=r2(r＞0)，直线l：y=kx+m与C1和C2分别有唯一的公共点A和B．（I）求r的取值范围；（II）求|AB|的最大值，并求此时圆C2的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C1：x24+y2=1和动圆C2：x2+y2=r2(r＞0)，直线l..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆C₁：

x2

4

+y2=1和动圆C2：x2+y2=r2(r＞0)，直线l：y=kx+m与C₁和C₂分别有唯一的公共点A和B．
（I）求r的取值范围；
（II ）求|AB|的最大值，并求此时圆C₂的方程．

试题来源：唐山一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由

x2

4

+y2=1

y=kx+m

，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
由于l与C₁有唯一的公共点A，故△₁=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=0，
从而m²=1+4k²①
由

x2+y2=r2

y=kx+m

，得（1+k²）x²+2kmx+m²-r²=0．
由于l与C₂有唯一的公共点B，故△₂=4k²m²-4（1+k²）（m²-r²）=0，
从而m²=r²（1+k²） ②
由①、②得k²=

r2-1

4-r2

．
由k²≥0，得1≤r²＜4，所以r的取值范围是[1，2）．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（Ⅰ）的解答可知
x₁=-

4km

1+4k2

=-

4k

m

，x₂=-

km

1+k2

=-

kr2

m

．
|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=（1+k²）?

k2(4-r2)2

m2

=

1+k2

m2

?k²?（4-r²）²
=

1

r2

?

r2-1

4-r2

?（4-r²）²=

(r2-1)(4-r2)

r2

，
所以|AB|²=5-（r²+

4

r2

）（1≤r＜2）．
因为r²+

4

r2

≥2×2=4，当且仅当r=

2

时取等号，
所以当r=

2

时，|AB|取最大值1，此时C₂的方程为x²+y²=2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C1：x24+y2=1和动圆C2：x2+y2=r2(r＞0)，直线l..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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