已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-1，离心率e=22．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点（1，0）作直线l交E于P、Q两点，试问在x轴上是否存在一定点-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为

2

-1，离心率e=

2

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）作直线l交E于P、Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使

MP

?

MQ

为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）

a-c=

2

-1

e=

c

a

=

2

?

a=

2

c=1

b=1

，
∴所求椭圆E的方程为：

x2

2

+y2=1（5分）
（Ⅱ）当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：x=ky+1

x2+2y2=2

x=ky+1

(1)

(2)

，
把（2）代入（1）整理得：（k²+2）y²+2ky-1=0（3）
∴

y1+y2=-

2k

k2+2

y1?y2=-

1

k2+2

，（8分）
假设存在定点M（m，0），使得

MP

?

MQ

为定值

MP

?

MQ

=(x1-m，y1)?(x2-m，y2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=（ky₁+1-m）（ky₂+1-m）+y₁y₂=（k²+1）y₁y₂+k（1-m）（y₁+y₂）+（1-m）²=-

(k2+1)

k2+2

-

2k2(1-m)

k2+2

+(1-m)2=

(2m-3)k2-1

k2+2

+(1-m)2=

(2m-3)(k2+2)+(5-4m)

k2+2

+(1-m)2
当且仅当5-4m=0，即m=

5

4

时，

MP

?

MQ

=-

7

16

（为定值）．这时M(

5

4

，0)（12分）
再验证当直线l的倾斜角α=0时的情形，此时取P(-

2

，0)，Q(

2

，0)

MP

=(-

2

-

5

4

，0)，

MQ

=(

2

-

5

4

，0)

MP

?

MQ

=(-

2

-

5

4

)?(

2

-

5

4

)=-

7

16

∴存在定点M(

5

4

，0)使得对于经过（1，0）点的任意一条直线l均有

MP

?

MQ

=-

7

16

（恒为定值）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：