设数列{an}满足：a1=2，an+1=an+1an(n∈N*)．（I）证明：an＞2n+1对n∈N*恒成立；（II）令bn=ann(n∈N*)，判断bn与bn+1的大小，并说明理由．-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}满足：a1=2，an+1=an+1an(n∈N*)．（I）证明..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}满足：a1=2，an+1=an+

1

an

(n∈N*)．
（I）证明：an＞

2n+1

对n∈N^*恒成立；
（II）令bn=

an

n

(n∈N*)，判断b_n与b_n+1的大小，并说明理由．

试题来源：重庆试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证法一：当n=1时，a1=2＞

2×1+1

，不等式成立，
假设n=k时，ak＞

2k+1

成立（2分），
当n=k+1时，

a

2k+1

=

a

2k

+

1

a

2k

+2＞2k+3+

1

a

2k

＞2(k+1)+1．（5分）
∴n=k+1时，ak+1＞

2(k+1)+1

时成立
综上由数学归纳法可知，an＞

2n+1

对一切正整数成立（6分）
证法二：由递推公式得

a

2n

=

a

2n-1

+2+

1

a

2n-1

，

a

2n-1

=

a

2n-2

+2+

1

a

2m-2

a

22

=

a

21

+2+

1

a

21

（2分）
上述各式相加并化简得

a

2n

=

a

21

+2(n-1)+

1

a

21

+…+

1

a

2n-1

＞22+2(n-1)=2n+2＞2n+1+1+1（n≥2）（4分）
又n=1时，an＞

2n+1

显然成立，故an＞

2n+1

(n∈N*)（6分）
（2）解法一：

bn+1

bn

=

an+1

n

an

n+1

=(1+

1

a

2n

)

n

n+1

＜(1+

1

2n+1

)

n

n+1

（8分）
=

2(n+1)

n

(2n+1)

n+1

=

2

n(n+1)

2n+1

=

(n+

1

2

)2-

1

4

n+

1

2

＜1（10分）
又显然b_n＞0（n∈N^*），故b_n+1＜b_n成立（12分）
解法二：

b

2n+1

-

b

2n

=

a

2n+1

n+1

-

a

2n

n

=

1

n+1

(

a

2n

+

1

a

2m

+2)-

a

2n

n

（8分）
=

1

n+1

(2+

1

a

2m

-

a

2n

n

)＜

1

n+1

(2+

1

2n+1

-

2n+1

n

)（10分）
=

1

n+1

(

1

2n+1

-

1

n

)＜0
故b_n+1²＜b_n²，因此b_n+1＜b_n（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}满足：a1=2，an+1=an+1an(n∈N*)．（I）证明..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

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