已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N．（1）求证：直线MN必过定点，并写出此定点坐标；（2）分别以AB和CD为直径作圆，求两圆相交弦-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-02 07:30:00

试题原文

已知抛物线y²=4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N．
（1）求证：直线MN必过定点，并写出此定点坐标；
（2）分别以AB和CD为直径作圆，求两圆相交弦中点H的轨迹方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设AB斜率为k，将AB方程与抛物线方程联立，求得M(

k2+2

k2

，

2

k

)，将k换为-

1

k

得N（2k²+1，-2k），由两点式得MN方程为（1-k²）y=k（x-3），则直线MN恒过定点T（3，0）；…（7分）
（2）由抛物线性质，以AB、CD为直径的⊙M、⊙N的半径分别为x_M+1，x_N+1，于是可得两圆方程分别为(x-xM)2+(y-yM)2=(xM+1)2和(x-xN)2+(y-yN)2=(xN+1)2，
两式相减可得其相交弦所在直线方程为
（x_M-x_N）x+（y_M-y_N）y=

1

2

(yM2-yN2)-(xM-xN)=

1

2

(

4

k2

-4k2)-(

2

k2

-2k2)=0，
则公共弦过原点O．所以∠OHT=90°．
于是，点H的轨迹是以OT为直径的圆（除去直径的两个端点），
其轨迹方程为(x-

3

2

)2+y2=

9

4

(y≠0)…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆与圆的位置关系”。

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