对于命题P：存在一个常数M，使得不等式a2a+b+b2b+a≤M≤aa+2b+bb+2a对任意正数a，b恒成立．（1）试猜想常数M的值，并予以证明；（2）类比命题P，某同学猜想了正确命题Q：存在一个常数-数学试题及答案

1、试题题目：对于命题P：存在一个常数M，使得不等式a2a+b+b2b+a≤M≤aa+2b+bb+2a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-27 07:30:00

试题原文

对于命题P：存在一个常数M，使得不等式

a

2a+b

+

b

2b+a

≤M≤

a

a+2b

+

b

b+2a

对任意正数a，b恒成立．
（1）试猜想常数M的值，并予以证明；
（2）类比命题P，某同学猜想了正确命题Q：存在一个常数M，使得不等式

a

3a+b

+

b

3b+c

+

c

3c+a

≤M≤

a

a+3b

+

b

b+3c

+

c

c+3a

对任意正数a，b，c恒成立，观察命题P与命题Q的规律，请猜想与正数a，b，c，d相关的正确命题（不需要证明）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：合情推理

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令a=b，得

2

3

≤M≤

2

3

，故M=

2

3

．先证明

a

2a+b

+

b

2b+a

≤

2

3

：
∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2b+a）+3b（2a+b）≤2（2a+b）（2b+a），
即证a²+b²≥2ab，即证（a-b）²≥0，这显然成立．∴

a

2a+b

+

b

2b+a

≤

2

3

．
再证明

2

3

≤

a

a+2b

+

b

b+2a

：
∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2a+b）+3b（2b+a）≥2（a+2b）（b+2a），
即证a²+b²≥2ab，即证（a-b）²≥0，这显然成立．∴

2

3

≤

a

a+2b

+

b

b+2a

．
（2）存在一个常数M，使得不等式

a

4a+b

+

b

4b+c

+

c

4c+d

+

d

4d+a

≤M≤

a

a+4b

+

b

b+4c

+

c

c+4d

+

d

d+4a

对任意正数a，b，c，d恒成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于命题P：存在一个常数M，使得不等式a2a+b+b2b+a≤M≤aa+2b+bb+2a..”的主要目的是检查您对于考点“高中合情推理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中合情推理”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：