发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-18 07:30:00
试题原文 |
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证明:(1)设f(x)=xn+nx-1, ∵f(0)=-1<0,f(1)=n>0, 且函数f(x)的图象在(0,+∞)上是连续的, ∴f(x)在(0,1)上至少有一个零点, 即方程xn+nx-1=0在(0,1)内至少有一个根.(3分) ∵x∈(0,+∞), ∴f′(x)=nxn-1+n>0, ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴方程xn+nx-1=0在(0,+∞)内有唯一根, 且根在(0,1)内,即an∈(0,1).(5分) (2)方法一:∵f(
且函数f(x)的图象在(0,+∞)上是连续的, ∴f(x)在[
即方程xn+nx-1=0在[
又由(1)知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴方程xn+nx-1=0在[
∴
∴
∴an+1<an. (9分) 方法二:由(1)知,ann+nan-1=0, an+1n+1+(n+1)an+1-1=0, 两式相减得:an+1n+1+(n+1)an+1-ann-nan=0,(7分) 若存在n∈N*,使得an+1≥an, 则an+1≥an>ann, 从而an+1n+1+(n+1)an+1-ann-nan>(n+1)an+1-ann-nan=an+1-ann+nan+1-nan>0,矛盾. 所以an+1<an.(9分) (3)由题设得a1=
当n∈N*时,an=
∴a12+a22<(
当n≥3时有a12+a22+a32+…+an2<(
<
=
=1-
综上a12+a22+…+an2<1. (14分) |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设an是关于x的方程xn+nx-1=0(n∈N*,x∈(0,+∞))的根.试证明:(1)an..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数零点的判定定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数零点的判定定理”。