已知函数f（x）=（x2-mx+m）?ex（m∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）存在零点，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当m＜0时，求函数f（x）的单调区间；并确定此时f（x）是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x2-mx+m）?ex（m∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）存在零点，求实数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-18 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（x²-mx+m）?e^x（m∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）存在零点，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m＜0时，求函数f（x）的单调区间；并确定此时f（x）是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果不存在，请说明理由．

试题来源：西城区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数零点的判定定理

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设f（x）有零点，即函数g（x）=x²-mx+m有零点，
所以m²-4m≥0，解得m≥4或m≤0．
（Ⅱ）f'（x）=（2x-m）?e^x+（x²-mx+m）?e^x=x（x-m+2）e^x，
令f'（x）=0，得x=0或x=m-2，
因为m＜0时，所以m-2＜0，
当x∈（-∞，m-2）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（m-2，0）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
此时，f（x）存在最小值．f（x）的极小值为f（0）=m＜0．
根据f（x）的单调性，f（x）在区间（m-2，+∞）上的最小值为m，
解f（x）=0，得f（x）的零点为x1=

m-

m2-4m

2

和x2=

m+

m2-4m

2

，
结合f（x）=（x²-mx+m）?e^x，
可得在区间（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上，f（x）＞0
因为m＜0，所以x₁＜0＜x₂，
并且x1-(m-2)=

m-

m2-4m

2

-m+2=

-m+4-

m2-4m

2

＞

-m+4-

m2-4m+4

2

=

-m+4-|m-2|

2

=

-m+4-(2-m)

2

=1＞0，
即x₁＞m-2，
综上，在区间（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上，f（x）＞0，f（x）在区间（m-2，+∞）上的最小值为m，m＜0，
所以，当m＜0时f（x）存在最小值，最小值为m．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x2-mx+m）?ex（m∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）存在零点，求实数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数零点的判定定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数零点的判定定理”。

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