设函数f（x）=x3+2bx2+cx-2的图象与x轴相交于一点P（t，0），且在点P（t，0）处的切线方程是y=5x-10．（I）求t的值及函数f（x）的解析式；（II）设函数g（x）=f（x）+13mx（1）若g（x）的极值存在-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x3+2bx2+cx-2的图象与x轴相交于一点P（t，0），且在点P..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x³+2bx²+cx-2的图象与x轴相交于一点P（t，0），且在点P（t，0）处的切线方程是y=5x-10．
（I）求t的值及函数f（x）的解析式；
（II）设函数g（x）=f（x）+

1

3

mx
（1）若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围．
（2）假设g（x）有两个极值点x₁，x₂（且x₁≥0，x₂≥0），求x

21

+x

22

关于m的表达式φ（m），并判断φ（m）是否有最大值，若有最大值求出它；若没有最大值，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设切点P（t.0）代入直线方程y=5x-10，得P （2，0），
且有f（2）=0，即4b+c+3=0…①…（2分）
又f'（x）=3x²+4bx+c，由已f'（2）=12+8b+c=5得8b+c+7=0 …②
联立①②，解得b=-1，c=1．
所以函数的解析式f（x）=x³-2x²+x-2 …（4分）
（II）（1）因为g(x)=x3-2x2+x-2+

1

3

mx，
g′(x)=3x2-4x+1+

1

3

m=0，
当函数有极值时，则△≥0，方3x2-4x+1+

1

3

m=0有实数解，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1． …（8分）
①当m=1时，g'（x）=0有实数x=

2

3

，在x=

2

3

的左右两侧均g'（x）＞0，故函数g（x）无极值
②当m＜1时，g'（x）=0有两个实数根x₁，x₂，（x₁＜x₂）．
g'（x），g（x）情况如下表：

x	（-∞，x₁）	x₁	（x₁，x₂）	x₂	（x₂，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以在m∈（-∞，1）时，函数g（x）有极值；…（10分）
（2）由（1）得m∈（-∞，1）且x₁+x₂=

4

3

，x1x2=

3+m

9

．
x12+x22=φ(m)=(x1+x2)2-2x1x2=

16

9

-

2(3+m)

9

=

10-m

9

…（12分）
∵x1x2=

3+m

9

．≥0，m∈（-∞，1）
∴φ(m)=

10-m

9

，-3≤m＜1，故φ（m）有最大值为φ（-3）=

13

9

…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x3+2bx2+cx-2的图象与x轴相交于一点P（t，0），且在点P..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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