已知函数f（x）=x3+x，g(x)=x2+ax+4x．（1）若曲线y=f（x）的切线过点（1，2），求其切线方程；（2）若对任意的x1∈[1，3]，存在x2∈[1，3]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围；（3）若对-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+x，g(x)=x2+ax+4x．（1）若曲线y=f（x）的切线过点（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+x，g(x)=

x2+ax+4

x

．
（1）若曲线y=f（x）的切线过点（1，2），求其切线方程；
（2）若对任意的x₁∈[1，3]，存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，求a的取值范围；
（3）若对任意的x₁，x₂∈[1，3]都有f（x₁）≥g（x₂）成立，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=x³+x，
∴f'（x）=3x²+1．
设切点为（x₀，x₀³+x₀），
则其切线方程为：y-（x₀³+x₀）=（3x₀²+1）（x-x₀）．
又切线过点（1，2），
∴（x₀-1）²（2x₀+1）=0，
∴x₀=1或x0=-

1

2

．
∴所求切线方程为：4x-y-2=0或7x-4y+1=0．
（2）“对任意的x₁∈[1，3]，存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立”
等价于f（x）_min≥g（x）_min，
∵f（x）=x³+x在[1，3]上是单调递增函数，
∴f（x）_min=f（1）=2．
g(x)=

x2+ax+4

x

=x+

4

x

+a在[1，2]上单调递减，
在[2，3]上单调递增，
∴g（x）_min=g（2）=4+a，
∴4+a≤2，
即a≤-2．
（3）“对任意的x₁，x₂∈[1，3]都有f（x₁）≥g（x₂）成立”
等价于f（x）_min≥g（x）_max．
而f（x）_min=f（1）=2，
g（x）_max=g（1）=5+a，
∴a≤-3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+x，g(x)=x2+ax+4x．（1）若曲线y=f（x）的切线过点（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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