已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．（1）求函数g（x）=f（x）?f‘（x）的最小值及相应的x值的集合；（2）若f（x）=2f′（x），求tan(x+π4)的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．（1）求函数g（x）=f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．
（1）求函数g（x）=f（x）?f'（x）的最小值及相应的x值的集合；
（2）若f（x）=2f′（x），求tan( x+

π

4

)的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=sinx+cosx，故f'（x）=cosx-sinx，
∴g（x）=f（x）?f'（x）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）=cos²x-sin²x=cos2x，
∴当2x=-π+2kπ（k∈Z），即x=-

π

2

+kπ ( k∈Z )时，g（x）取得最小值-1，
相应的x值的集合为{ x|x=-

π

2

+kπ ， k∈Z }．
（2）由f（x）=2f′（x），得sinx+cosx=2cosx-2sinx，
∴cosx=3sinx，故tanx=

1

3

，
∴tan( x+

π

4

)=

tanx+tan

π

4

1-tanxtan

π

4

=

1+

1

3

1-

1

3

=2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．（1）求函数g（x）=f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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