已知函数f（x）=x2e-ax（a＞0），求函数在[1，2]上的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2e-ax（a＞0），求函数在[1，2]上的最大值．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²e^-ax（a＞0），求函数在[1，2]上的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵f′（x）=2xe^-ax+x²（-a）e^-ax=e^-ax（-ax²+2x）（2分）
令f′（x）＞0，∵e^-ax＞0（3分）
∴-ax²+2x＞0，解得0＜x＜

2

a

（4分）
∴f（x）在（-∞，0）和（

2

a

，+∞）内是减函数，在（0，

2

a

）内是增函数．（6分）
①当0＜

2

a

＜1，即a＞2时，f（x）在（1，2）内是减函数．
∴在[1，2]上f_max（x）=f（1）=e^-a；（8分）
②当1≤

2

a

≤2，即1≤a≤2时，f（x）在（1，

2

a

）内是增函数，在（

2

a

，2）内是减函数．
∴在[1，2]上fmax（x）=f（

2

a

）=4a^-2e-2；（10分）
③当

2

a

＞2即0＜a＜1时，f（x）在（1，2）是增函数．
∴在[1，2]上f_max（x）=f（2）=4e^-2a．（12分）
综上所述，当0＜a＜1时，f（x）在[1，2]上的最大值为4e^-2a；
当1≤a≤2时，f（x）在[1，2]上的最大值为4a^-2e^-2；
当a＞2时，f（x）在[1，2]上的最大值为e^-a．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2e-ax（a＞0），求函数在[1，2]上的最大值．..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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