已知函数f（x）=12x2+1nx．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值；（Ⅱ）设g（x）=f（x），求证：[g（x）]n-g（xn）≥2n-2（n∈N+）．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=12x2+1nx．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

2

x²+1nx．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x），求证：[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N⁺）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知得f′（x）=x+

1

x

，
当x∈[1，e]时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在区间[1，e]上单调递增，
所以函数f（x）在区间[1，e]上的最大、最小值分别为f（1）、f（e），
因为f（1）=

1

2

，f（e）=

e2

2

+1，
所以函数f（x）在区间[1，e]上的最大值为

e2

2

+1，最小值为

1

2

；
（Ⅱ）当n=1时，不等式成立，
当n≥2时，[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)
=

C

1n

xn-1?

1

x

+C

2n

xn-2?

1

x2

+…

+C

n-1n

x?

1

xn-1

=

1

2

[C

1n

(xn-2+

1

xn-2

)

+C

2n

(xn-4+

1

xn-4

)+…

+C

n-1n

(

1

xn-2

+xn-2)]，
由已知x＞0，所以：[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥

C

1n

+C

2n

+…

+C

n-1n

=2n-2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=12x2+1nx．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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