已知f0(x)=x?ex，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…，fn（x）=f′n-1（x）（n∈N*）．（Ⅰ）请写出fn（x）的表达式（不需证明）；（Ⅱ）设fn（x）的极小值点为Pn（xn，yn），求yn；（Ⅲ）设gn(x)=-x2-2(n+-数学试题及答案

1、试题题目：已知f0(x)=x?ex，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…，fn（x）=f′n-1（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知f0(x)=x?ex，f₁（x）=f′₀（x），f₂（x）=f′₁（x），…，f_n（x）=f′_n-1（x）（n∈N^*）．
（Ⅰ）请写出f_n（x）的表达式（不需证明）；
（Ⅱ）设f_n（x）的极小值点为P_n（x_n，y_n），求y_n；
（Ⅲ）设gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，g_n（x）的最大值为a，f_n（x）的最小值为b，试求a-b的最小值．

试题来源：泉州模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）fn(x)=(x+n)?ex（n∈N^*）．…（4分）
（Ⅱ）∵fn′(x)=(x+n+1)?ex，
∴当x＞-（n+1）时，fn′(x)＞0；当x＜-（n+1）时，fn′(x)＜0．
∴当x=-（n+1）时，f_n（x）取得极小值fn(-(n+1))=-e-(n+1)，
即yn=-e-(n+1)（n∈N^*）．…（8分）
（Ⅲ）解法一：∵gn(x)=-(x+(n+1))2+(n-3)2，所以a=gn(-(n+1))=(n-3)2．…（9分）
又b=fn(-(n+1))=-e-(n+1)，
∴a-b=（n-3）²+e^-（n+1），
令h（x）=（x-3）²+e^-（x+1）（x≥0），则h'（x）=2（x-3）-e^-（x+1）．…（10分）
∵h'（x）在[0，+∞）单调递增，∴h'（x）≥h'（0）=-6-e^-1，
∵h'（3）=-e^-4＜0，h'（4）=2-e^-5＞0，
∴存在x₀∈（3，4）使得h'（x₀）=0．…（12分）
∵h'（x）在[0，+∞）单调递增，
∴当0≤x＜x₀时，h'（x₀）＜0；当x＞x₀时，h'（x₀）＞0，
即h（x）在[x₀，+∞）单调递增，在[0，x₀）单调递减，
∴（h（x））_min=h（x₀），
又∵h（3）=e^-4，h（4）=1+e^-5，h（4）＞h（3），
∴当n=3时，a-b取得最小值e^-4．…（14分）
解法二：∵gn(x)=-(x+(n+1))2+(n-3)2，所以a=gn(-(n+1))=(n-3)2．…（9分）
又b=fn(-(n+1))=-e-(n+1)，
∴a-b=（n-3）²+e^-（n+1），
令cn=(n-3)2+e-(n+1)，
则cn+1-cn=2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

，…（10分）
当n≥3时，cn+1-cn=2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

，又因为n≥3，所以2n-5≥1，

1

en+2

＞0，0＜

1

en+1

＜1，所以2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

＞0，所以c_n+1＞c_n．…（12分）
又c1=4+

1

e2

，c2=1+

1

e3

，c3=

1

e4

，c₁＞c₂＞c₃，
∴当n=3时，a-b取得最小值e^-4．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f0(x)=x?ex，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…，fn（x）=f′n-1（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：