已知函数f（x）=2ex-x（1）求f（x）在区间[-1，m]（m＞-1）上的最小值；（2）求证：对m＞ln12，x＞ln2时，恒有2ex-12x2-2＞(1+ln2)x．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=2ex-x（1）求f（x）在区间[-1，m]（m＞-1）上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=2e^x-x
（1）求f（x）在区间[-1，m]（m＞-1）上的最小值；
（2）求证：对m＞ln

1

2

，x＞ln2时，恒有2ex-

1

2

x2-2＞(1+ln2)x．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（1）当f'（x）=2e^x-1=0，
解得x=ln

1

2

当m≤ln

1

2

时，f'（x）＜0，f（x）在[-1，m]上单调减，
则f（x）的最小值为f（m）=2e^m-m
当m＞ln

1

2

时，(-1，ln

1

2

)上递减，(ln

1

2

，+∞)上递增，
则f（x）的最小值为f(ln

1

2

)=1-ln

1

2

（2）g(x)=2ex-

1

2

x2-2-(1+ln2)x
g′（x）=2e^x-x-1-ln2=f（x）-1-ln2
由（1）知当m＞ln

1

2

时，f（x）的最小值为f(ln

1

2

)=1-ln

1

2

=1+ln2，
所以当x＞ln2时g′（x）＞0，g（x）在（ln2，+∞）上单调递增，
所以g(x)＞g(ln2)=2-

3

2

(ln2)2-ln2＞0
所以2ex-

1

2

x2-2＞(1+ln2)x

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=2ex-x（1）求f（x）在区间[-1，m]（m＞-1）上..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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