已知函数f（x）=ax-lnx（a＞0)，g(x)=8xx+2．（I）求证f（x）≥1+lna；（II）若对任意的x1∈[12，23]，总存在唯一的x2∈[1e2，e]（e为自然对数的底数），使得g（x1）=f（x2），求实数a的取值范围-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax-lnx（a＞0)，g(x)=8xx+2．（I）求证f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax-lnx（a＞0)，g(x)=

8x

x+2

．
（I）求证f（x）≥1+lna；
（II）若对任意的x1∈[

1

2

，

2

3

]，总存在唯一的x2∈[

1

e2

，e]（e为自然对数的底数），使得g（x₁）=f（x₂），求实数a的取值范围．

试题来源：泰安二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证明：求导数可得f′（x）=a-

1

x

（x＞0）
令f′（x）＞0，可得x＞

1

a

，令f′（x）＜0，可得0＜x＜

1

a

∴x=

1

a

时，函数取得最小值
∴f（x）≥f（

1

a

）=1+lna；
（II）g′（x）=

16

(x+2)2

＞0，∴函数g（x），当x1∈[

1

2

，

2

3

]时，函数为增函数，∴g（x）∈[

8

5

，2]
当

1

a

≥e时，函数f（x）在x2∈[

1

e2

，e]上单调减，∴f（x）∈[

a

e2

+2，ae-1]
∴

a

e2

+2≤

8

5

ae-1≥2

，无解；
当

1

e2

＜

1

a

＜e时，函数f（x）在[

1

e2

，

1

a

]上单调减，在[

1

a

，e]上单调增，f（

1

a

）=1+lna≤

8

5

，∴a≤e

3

5

，∴

1

e

＜a≤e

3

5

当

1

a

≤

1

e2

时，函数f（x）在x2∈[

1

e2

，e]上单调增，∴f（x）∈[

a

e2

+2，ae-1]，∴

a

e2

+2≥2

ae-1≤

8

5

，无解
综上知，

1

e

＜a≤e

3

5

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax-lnx（a＞0)，g(x)=8xx+2．（I）求证f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：