已知函数f（x）=loga1-mxx-1（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数．（1）当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值；（2）令函数g（x）=-ax2+8（x-1）af（x）-5，a≥8时，存在最大实数-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=loga1-mxx-1（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数．
（1）当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值；
（2）令函数g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5，a≥8时，存在最大实数t，使得x∈（1，t]-5≤g（x）≤5恒成立，请写出t与a的关系式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知条件得f（x）+f（-x）=0对定义域中的x均成立．
∴

log

mx+1

-x-1

a

+

log

1-mx

x-1

a

=0．
即

mx+1

-x-1

1-mx

x-1

=1∴m²x²-1=x²-1对定义域中的x均成立．
=1，m=1（舍去）或=-1，∴m=-1．
∴f（x）=

log

x+1

x-1

a

（x＜-1或x＞1）
设t=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，
∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．
同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
∵函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（-∞，-1），
∴①当n＜a-≤-1时有0＜a＜1．
∴f（x）在（n，a-2）为增函数，
要使值域为（1，+∞），
则

log

n+1

n-1

a

=1

a-2=-1

（无解）；
②当1≤n＜a-2时有a＞3．
∴f（x）在（n，a-2）为减函数，
要使f（x）的值域为（1，+∞），则

log

a-1

a-3

a

=1

n=1

，
∴a=2+

3

，n=1．
（2）g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5=-ax²+8（x+1）-5=-a（x-

4

a

）²+3+

16

a

则函数y=g（x）的对称轴x=

4

a

，∵a≥8∴x=

4

a

∈(0，

1

2

]．
∴函数y=g（x）在（1，t]上单调减．
则1＜x≤t，有g（t）＜g（x）＜g（1）
∵g（1）=11-a，又∵a≥8，∴g（1）=11-a≤3＜5．
∵t是最大实数使得x∈（1，t]-5≤g（x）≤5恒成立
∴-at²+8t+3=-5即at²-8t-8=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=loga1-mxx-1（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数．..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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