已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，若存在正实数m，n使得h（x）=mf（x）+ng（x）恒成立，则称h（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数．若f(x)=sinx2，g(x)=cosx．（1）判断函数y=sinkx，（k-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，若存在正实数m，n使得h（x）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，若存在正实数m，n使得h（x）=mf（x）+ng（x）恒成立，则称h（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数．若f(x)=sin

x

2

，g(x)=cosx．
（1）判断函数y=sinkx，（k∈R）是否为f（x），g（x）在R上的生成函数，请说明理由．
（2）记G（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数，若G(

π

3

)=1，且G（x）的最大值为

9

8

，求G（x）的解析式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）若函数y=sinkx，（k∈R）是f（x），g（x）在R上的生成函数，
则存在正实数m，n使得sinkx=msin

x

2

+ncosx恒成立，
取x=0得：0=n，不符合n＞0这个条件，
故函数y=sinkx，（k∈R）不是为f（x），g（x）在R上的生成函数，
（2）∵G（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数，若G(

π

3

)=1，
则存在正实数m，n使得G（x）=msin

x

2

+ncosx恒成立，
且msin

π

6

+ncos

π

3

=1，即：m+n=2，
故G（x）=(2-n)sin

x

2

+ncosx=(2-n)sin

x

2

+n(1-2sin 2

x

2

)
=(2-n)sin

x

2

-2nsin 2

x

2

+n
令sin

x

2

=t，则G（x）=-2nt²+（2-n）t+n，
根据其G（x）的最大值为

9

8

，
得到：n=1 或

4

9

代入m+n=2，得
m=1，n=1，或m=

14

9

，n=

4

9

故G（x）的解析式为：G（x）=sin

x

2

+cosx或G（x）=

14

9

sin

x

2

+

4

9

cosx．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，若存在正实数m，n使得h（x）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：