已知函数f（x）=3x-1的反函数y=f-1（x），g（x）=log9（3x+1）（Ⅰ）求不等式f-1（x）≤g（x）的解集D；（Ⅱ）设函数H(x)=g(x)-12f-1(x)，当x∈D时，求H（x）的值域．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=3x-1的反函数y=f-1（x），g（x）=log9（3x+1）（Ⅰ）求不等式..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-10 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=3^x-1的反函数y=f^-1（x），g（x）=log₉（3x+1）
（Ⅰ）求不等式f^-1（x）≤g（x）的解集D；
（Ⅱ）设函数H(x)=g(x)-

1

2

f-1(x)，当x∈D时，求H（x）的值域．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由原函数，令x=3^y-1，得y=log₃（x+1）
故函数数的反函数为y=f^-1（x）=log₃（x+1），
不等式f^-1（x）≤g（x）化为：log₃（x+1）≤log₉（3x+1）
即：log₉（x+1）²≤log₉（3x+1）
所以有0＜（x+1）²≤3x+1且x＞-1
解这个不等式组，得0≤x≤1
∴不等式f^-1（x）≤g（x）的解集D=[0，1]
（Ⅱ）H(x)=g(x)-

1

2

f-1(x)=log₉

3x+1

x+1

=log9(3-

2

x+1

)
因为x∈D，所以真数3-

2

x+1

∈[1，2]
可得H（x）的值域为[log₉1，log₉2]，
∴H（x）的值域是[0，log₉2]

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=3x-1的反函数y=f-1（x），g（x）=log9（3x+1）（Ⅰ）求不等式..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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