已知y=f（x）的定义域为R，且恒有等式2f（x）+f（-x）+2x=0对任意的实数x成立．（Ⅰ）试求f（x）的解析式；（Ⅱ）讨论f（x）在R上的单调性，并用单调性定义予以证明．-数学试题及答案

1、试题题目：已知y=f（x）的定义域为R，且恒有等式2f（x）+f（-x）+2x=0对任意的实数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知y=f（x）的定义域为R，且恒有等式2f（x）+f（-x）+2^x=0对任意的实数x成立．
（Ⅰ）试求f（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论f（x）在R上的单调性，并用单调性定义予以证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵2f（x）+f（-x）+2^x=0 ①对任意的实数x成立；
∴2f（-x）+f（x）+2^-x=0 ②；
①×2-②得：3f（x）+2×2^x-2^-x=0?f（x）=

1

3

（2^-x-2×2^x）；
（Ⅱ）函数在实数集上递减．
证明：任取a＜b，
则f（a）-f（b）=

1

3

（2^-a-2×2^a）-

1

3

（2^-b-2×2^b）
=

1

3

[（2^-a-2^-b）-2×（2^a-2^b）]
=

1

3

[（

1

2a

-

1

2b

）-2×（2^a-2^b）]
=

1

3

（2^b-2^a）（

1

2a+b

+2）；
∵a＜b；
∴2^b-2^a＞0，2^a+b＞0；
∴（2^b-2^a）（

1

2a+b

+2）＞0；
∴f（a）-f（b）＞0?f（a）＞f（b）．
∴函数f（x）在R上递减．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知y=f（x）的定义域为R，且恒有等式2f（x）+f（-x）+2x=0对任意的实数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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