设函数f（x）=x（x-a）2，（I）证明：a＜3是函数f（x）在区间（1，2）上递减的必要而不充分的条件；（II）若x∈[0，|a|+1]时，f（x）＜2a2恒成立，且f（0）=0，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x（x-a）2，（I）证明：a＜3是函数f（x）在区间（1，2）上递减的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-20 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x（x-a）²，
（I）证明：a＜3是函数f（x）在区间（1，2）上递减的必要而不充分的条件；
（II）若x∈[0，|a|+1]时，f（x）＜2a²恒成立，且f（0）=0，求实数a的取值范围．

试题来源：湖南试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：充分条件与必要条件

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵f（x）在区间（1，2）上递减，
∴其导函数f'（x）=3x²-4ax+a²≤0在区间（1，2）上恒成立．
∴

f′(1)≤0

f′(2)≤0

?

a2-4a+3≤0

a2-8a+12≤0

?

1≤a≤3

2≤a≤6

?2≤a≤3?a≤3
故a≤3是函数f（x）在区间（1，2）上递减的必要而不充分的条件
解法二：f'（x）=3x²-4ax+a²=（3x-a）（x-a）≤0在区间（1，2）上恒成立，
∴a只能大于0，∴

a

3

＜x＜a，∴

a

3

≤ 1

a≥2

∴2≤a≤3?a≤3
故a≤3是函数f（x）在区间（1，2）上递减的必要而不充分的条件
（II）∵f（x）=x（x-a）²f′(x)=3(x-a)(x-

a

3

)
当a＞0时，函数y=f（x）在（-∞，

a

3

）上递增，
在(

a

3

，a)上递减，在(

a

3

，+∞)上递增，
故有

f(

a

3

)＜2a2

f(a+1)＜2a2

?1＜a＜

27

2

当a＜0时，函数y=f（x）在(

a

3

，+∞)上递增，
∴只要f（1-a）＜2a²?4a³-6a²+5a-1＞0
令g（a）=4a³-6a²+5a-1，
则g′(a)=12a2-12a+5=12(a-

1

2

)2+2＞0
所以g（a）在（-∞，0）上递增，
又g（0）=-1＜0∴f（1-a）＜2a²不能恒成立
故所求的a的取值范围为1＜a＜

27

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x（x-a）2，（I）证明：a＜3是函数f（x）在区间（1，2）上递减的..”的主要目的是检查您对于考点“高中充分条件与必要条件”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中充分条件与必要条件”。

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