已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证：-3＜a＜3．（2）若x∈[0，1]，则函数y=f（x）的图象上的任意一点的切线的斜率为k，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）若函数y=f（x）的图象上任意不..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-19 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证：-

3

＜a＜

3

．
（2）若x∈[0，1]，则函数y=f（x）的图象上的任意一点的切线的斜率为k，求证：1≤a≤

3

是|k|≤1成立的充要条件．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：充分条件与必要条件

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设函数y=f（x）的图象上任意不同的两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），
不妨设x₁＞x₂，
则

y1-y2

x1-x2

＜1，即

-

x

13

+a

x

12

+

x

23

-a

x

22

x1-x2

＜1，
∴

-(x1-x2)(

x

21

+x1x2+

x

22

)+a(x1-x2)(x1+x2)

x1-x2

＜1
整理得：x₁²+（x₂-a）x₁+x₂²-ax₂+1＞0
∵x₁∈R
∴△=（x₂-a）²-4（x₂²-ax₂+1）＜0即3x₂²-2ax₂-a²+4＞0
∵x₂∈R
∴△=4a²-12（-a²+4）＜0即a²-3＜0
∴-

3

＜a＜

3

（2）k=f'（x）=-3x²+2ax，则当x∈[0，1]时，|k|≤1?-1≤-3x²+2ax≤1
?

0≤

a

3

≤1

|f′(1)|=|-3+2a|≤1

|f(

a

3

)|=

a2

3

≤1

或

a

3

＞1

|f′(1)|=-3+2a≤1

或

a

3

＜0

|f′(1)|=|-3+2a|≤1

解得：1≤a≤

3

，故|k|≤1成立的充要条件是1≤a≤

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）若函数y=f（x）的图象上任意不..”的主要目的是检查您对于考点“高中充分条件与必要条件”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中充分条件与必要条件”。

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