已知数列{an}(n∈N*)满足：a1=1，an+1-sin2θ?an=cos2θ?cos2nθ，其中θ∈(0，π2)．（1）当θ=π4时，求{an}的通项公式；（2）在（1）的条件下，若数列{bn}中，bn=sinπan2+cosπan-14(n∈N*，-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}(n∈N*)满足：a1=1，an+1-sin2θ?an=cos2θ?cos2nθ，其中..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-06 07:30:00

试题原文

已知数列{an} (n∈N*)满足：a1=1，an+1-sin2θ?an=cos2θ?cos2nθ，其中θ∈(0，

π

2

)．
（1）当θ=

π

4

时，求{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若数列{b_n}中，bn=sin

πan

2

+cos

πan-1

4

(n∈N*，n≥2)，且b₁=1．求证：对于?n∈N*，1≤bn≤

2

恒成立；
（3）对于θ∈(0，

π

2

)，设{a_n}的前n项和为S_n，试比较S_n+2与

4

sin22θ

的大小．

试题来源：韶关模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：不等式的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当θ=

π

4

时，sin2θ=

1

2

，cos2θ=0，∴an+1-

1

2

an=0，即

an+1

an

=

1

2

．…2分
故数列{a_n}是首项为a₁=1，公比为

1

2

的等比数列．
故数列{a_n}的通项公式为　an=

1

2n-1

．…4分
（2）证明：由（1）得，an=

1

2n-1

，
∴当n∈N^*，n≥2时，有bn=sin

πan

2

+cos

πan-1

4

=sin(

π

2

?

1

2n-1

)+cos(

π

4

?

1

2n-2

)=sin

π

2n

+cos

π

2n

=

2

sin(

π

2n

+

π

4

)．…6分
b₁=1也满足上式，故当n∈N^*时，bn=

2

sin(

π

2n

+

π

4

)．
∵n∈N^*，
∴0＜

π

2n

≤

π

2

，

π

4

＜

π

2n

+

π

4

≤

3π

4

，
∴1≤

2

sin(

π

2n

+

π

4

)≤

2

，即1≤bn≤

2

. …8分
（3）解法一：由an+1-sin2θ?an=cos2θ?cos2nθ得：an+1-sin2θ?an=(cos2θ-sin2θ)?cos2nθ，
∴an+1-cos2n+2θ=(an-cos2nθ)sin2θ，即

an+1-cos2n+2θ

an-cos2nθ

=sin2θ，
∴{an-cos2nθ}是首项为a1-cos2θ=1-cos2θ=sin2θ，公比为sin²θ的等比数列，
故an-cos2nθ=sin2nθ， ∴ an=cos2nθ+sin2nθ．…9分
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=（cos²θ+cos⁴θ+…+cos²ⁿθ）+（sin²θ+sin⁴θ+…+sin²ⁿθ）
=

cos4θ+sin4θ-cos2n+4θ-sin2n+4θ

sin2θcos2θ

．…11分
因此，S_n+2-

4

sin22θ

=

cos4θ+sin4θ-cos2n+4θ-sin2n+4θ

sin2θcos2θ

+2-

4

sin22θ

=

cos4θ+sin4θ-cos2n+4θ-sin2n+4θ+2sin2θcos2θ-1

sin2θcos2θ

=

(cos2θ+sin2θ)2-(cos2n+4θ+sin2n+4θ)-1

sin2θcos2θ

=-

(cosn+2θ)2+(sinn+2θ)2

sin2θcos2θ

＜0，
∴S_n+2＜

4

sin22θ

．…（14分）
解法二：同解法一得 an=cos2nθ+sin2nθ．…9分
∵θ∈(0，

π

2

)，0＜cos2nθ＜1，0＜sin2nθ＜1；…11分
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=（cos²θ+cos⁴θ+…+cos²ⁿθ）+（sin²θ+sin⁴θ+…+sin²ⁿθ）=

cos2θ(1-cos2nθ)

1-cos2θ

+

sin2θ(1-sin2nθ)

1-sin2θ

＜

cos2θ

1-cos2θ

+

sin2θ

1-sin2θ

=

cos4θ+sin4θ

sin2θcos2θ

=

(cos2θ+sin2θ)2-2sin2θcos2θ

sin2θcos2θ

=

1

sin2θcos2θ

-2=

4

sin22θ

-2
∴S_n+2＜

4

sin22θ

．…（14分）
（其他解法酌情给分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}(n∈N*)满足：a1=1，an+1-sin2θ?an=cos2θ?cos2nθ，其中..”的主要目的是检查您对于考点“高中不等式的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中不等式的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：